SpillOver Effect Analysis on S&P500 and Eurostoxx50 [ITA]


Abstract:

Questo elaborato presenta un’analisi dell’effetto contagio nei mercati finanziari, noto come effetto Spillover. L’analisi è stata condotta interamente attraverso il software $R$.

La definizione di contagio tra due mercati utilizzata in questa trattazione è la seguente: si definisce contagio l’aumento delle relazioni tra due o più mercati in seguito ad uno shock in uno degli stessi. L’idea è quella di analizzare dei mercati che rappresentino al meglio una unica macro area, in modo tale da cercare di stimare le relazioni che intercorrono tra le diverse economie. Vengono paragonati nell’elaborato diversi modelli della famiglia $GARCH$ e viene effettuata un’analisi sulla rolling correlation per diverse finestre temporali.

DATI E CAMPIONE DI ANALISI

A tale scopo sono stati scelti i seguenti indici: Eurostox50 e Standard and Poor’s500. Il primo rappresentante la macro area europea, il secondo quella americana. E’ stato scelto un campione di dati sufficientemente lungo in modo da catturare eventi di shock per entrambe le economie, e per analizzare anche l’evoluzione nel tempo dell’interdipendenza tra i due mercati. La trattazione di questo lavoro si ferma ad una analisi comparativa tra due sole macro aree, ma i medesimi argomenti possono essere applicati ad una analisi più complessa.

ANALISI DEI RENDIMENTI

Passiamo ad una analisi della serie storica principale di questa trattazione: Eurostox50 dal 1987-01-01 al 2015-06-11.

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Successivamente calcoliamo i rendimenti e eseguiamo un plot dei rendimenti, rendimenti assoluti e rendimenti al quadrato.

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Come ci si poteva aspettare la $ACF$ dei rendimenti conferma l’assenza di autocorrelazione, mentre sono correlati fra loro i rendimenti al quadrato e i rendimenti presi in valore assoluto. Nel seguito di questa analisi verranno utilizzati i rendimenti al quadrato come proxy della varianza giornaliera. La presenza di autocorrelazione tra i rendimenti al quadrato ci permette di fittare un modello che catturi questa dipendenza temporale. Vediamo la distribuzione dei rendimenti e confrontiamola con qualche distribuzione teorica.

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L’immagine in alto mostra l’istogramma dei rendimenti sul quale è stata applicata in blu una distribuzione Normale avente la stessa media e varianza dei rendimenti. Si può notare già graficamente una sostanziale differenza nell’indice di curtosi ed una minore differenza nell’indice di simmetria.
Si procede con un approccio più analitico:
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Dalla tabella con le statistiche di base della serie si può confermare un indice di curtosi elevato e la presenza di asimmetria. Un modello per catturare la relazione non lineare tra rendimenti di serie finanziarie leptocurtiche è il modello $GARCH$, presentato da Bollerslev nel 1986. Sono state sviluppate poi, nel tempo, varianti del modello $GARCH$ più flessibili in grado di catturare diversi fatti stilizzati.
Questa analisi partirà da un modello $GARCH(1,1)$ , per poi ricercare quale tra i modelli della famiglia $GARCH$ si adatta meglio ai dati. La scelta del modello avverrà in base ai criteri informativi, principalmente $AIC$ e $BIC$.

 

SCELTA DEL MODELLO

Risultati per il $GARCH(1,1)$:

catturaE’ uso comune filtrare con un modello $ARIMA$ la serie dei residui della quale si vuole analizzare la varianza. In questa trattazione tutti i modelli saranno filtrati solo tramite una costante, il parametro $mu$ . Filtrando con un modello $ARIMA$ la serie storica dei residui, si può adattare il modello $GARCH$ ai residui del modello $ARIMA$, ottenendo così una serie “pulita” dalla media della serie. Un ulteriore vincolo posto a questa analisi è la parsimonia del modello utilizzato per la varianza.
Un fatto stilizzato molto importante nelle serie storiche finanziarie è il Leverage effect. Per Leverage effect si intende il diverso impatto di uno shock negativo rispetto ad uno positivo sulla variabilità futura. Gli shock negativi infatti impattano in modo più intenso rispetto a quelli positivi, ed inoltre si propagano più velocemente tra diversi mercati.
Economicamente possiamo interpretare questo dicendo che le crisi o le bad news, vengono percepite da investitori avversi al rischio in maniera più importante rispetto a notizie positive, ed il processo di contagio in situazioni di paura avviene molto più velocemente. Alcuni modelli della famiglia $GARCH$ riescono a catturare Leverage effect. Sono stati allora testati alcuni di questi e sono state raccolte le statistiche relative ai criteri informativi, riportate in basso:
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I modelli sopra citati utilizzano tutti una distribuzione Gaussiana. Il modello con l’$AIC$ ed il $BIC$ più basso risulta il modello $APARCH$.
$APARCH$ è l’acronimo di $Asymmetric Power ARCH$, riesce a cogliere attraverso l’introduzione di un parametro aggiuntivo il Leverage effect.
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Nella formula, il parametro $ϓ$ è quello che misura il Leverage effect. Il parametro $δ$ invece è stato imposto pari ad $1$. Quando in un modello $APARCH$ viene fissato $δ = 1$ , si ottiene un modello $TGARCH$, $Threshold GARCH$ (Zakoian 1994), molto simile al modello $GJR-GARCH$. Durante l’intera trattazione il modello $TGARCH$ verrà presentato, per mantenere generalità, come modello $APARCH$ con $δ=1$. Vediamo ora i risultati del modello:
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Possiamo notare come il parametro $ϓ_1$ sia stato stimato significativamente diverso da zero, questo suggerisce la presenza del Leverage Effect che il modello riesce a cogliere. Vediamo nell’immagine sottostante l’impatto differente nei diversi modelli di un ritorno negativo sulla varianza:

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CAMBIO DI DISTRIBUZIONE

Come precedentemente analizzato, la serie che si sta analizzando non si distribuisce perfettamente come una normale: ha code più pesanti ed è asimmetrica. Si può per questo motivo procedere cambiando la distribuzione del modello $GARCH$. Sono stati effettuati diversi test utilizzando una $T$ di Student ed una $SkewT$. Di seguito una tabella con i migliori risultati:
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Nella tabella vengono riportate per comodità, anche le informazioni relative al miglior modello con distribuzione normale ( $APARCH_11$). In conclusione possiamo notare che il modello che meglio si adatta alla serie analizzata è il modello $APARCH$ con distribuzione $SkewT$ e $δ=1$. Osserviamo ora la stima dei parametri di tale modello e confrontiamolo poi con il modello con distribuzione normale per apprezzarne le differenze.
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Si può notare come tutti i parametri stimati risultino significavi, compresi i parametri shape e skew, i quali ci confermano la bontà della scelta di una distribuzione diversa da quella Gaussiana per gli errori del modello; il primo ci conferma la bontà della distribuzione T di Student al posto della Gaussiana, il secondo conferma la asimmetria della distribuzione. Confrontiamo ora il modello trovato con quello che utilizzava una distribuzione Gaussiana degli errori. A questo proposito guardiamo la densità e il QQ-Plot degli errori standardizzati:
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ANALISI DEL SECONDO MERCATO

Argomenti simili a quelli appena visti fin ora, sono stati applicati per l’analisi di Standard and Poor’s 500. Dopo aver selezionato un campione di uguale lunghezza di quello utilizzato per Eurostox50, è stato individuato il modello che meglio si adatta ai dati. Anche in questo caso il modello selezionato è un $APARCH$ con $δ=1$. Per completezza verrà fornita una tabella con i criteri informativi di alcuni modelli testati.
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Viene scelto quindi il modello $APARCH$ con $δ=1$ e con una distribuzione Skew-T degli errori.
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Dal QQ-Plot si possono notare numerosi outlayers, e delle code più pesanti rispetto alla distribuzione scelta per gli errori del modello.

ANALISI DI INTERDIPENDENZA

L’analisi di interdipendenza che verrà eseguita durante questa trattazione non utilizza un approccio multivariato. Si utilizzerà un modello con regressori esterni per verificare l’interdipendenza delle varianze dei due mercati, successivamente verrà calcolata la covarianza e la correlazione rolling a finestre temporali differenti, (20,74 e 156 giorni) e valutato l’incremento di queste dopo un evento di shock.

INDIVIDUAZIONE DEI REGRESSORI ESTERNI

Per individuare l’impatto di uno shock di un mercato sulla variabilità di un altro è stata utilizzata una matrice di variabili dummy. La matrice $D$ di dimensioni $(T,2)$, dove $T$ è il numero di osservazioni del campione analizzato. Tale variabile si comporta così:

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La variabile $D$ è quindi un indicatore di rendimenti appartenenti alle code della distribuzione.

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Si utilizzano quindi le variabili $D_SP$ e $D_EU$ come regressori esterni nella specificazione dei modelli rispettivamente di Eurostox50 e Standard and Poor’s500.Vediamo i risultati della stima dei parametri di questi modelli:

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Come ci si poteva aspettare in entrambi i casi $vxreg_1$ , il regressore relativo ai ritorni minori del quantile $0.05$, è più grande di $vxreg_2$. Questo risultato conferma la presenza di effetto Leverage. In generale le stime dei regressori $vxreg_1$ e $vxreg_2$, indicano l’apporto aggiuntivo di varianza relativa ad uno schock sull’altro mercato.
La situazione può essere vista e resa più chiara attraverso un grafo $G = (N, S)$ dove N è il numero di nodi, che nel caso in esame rappresentano i mercati; S è il numero degli spigoli, che nel caso in esame rappresentano le relazioni che intercorrono tra i mercati. Nel caso presentato non si può parlare di Spigoli, è più corretto parlare di Archi, in quanto le relazioni che intercorrono fra i mercati sono orientate. Chiaramente svolgendo una analisi su più mercati si avrebbe un grafo più complesso e informativo. Dal valore di $vxreg_1$ e $vxreg_2$ possiamo intuire subito che è Standard and Poor’s 500 a influenzare maggiormente Eurostox50 e non viceversa.
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CORRELAZIONE E COVARIANZA ROLLING

Dopo aver calcolato la correlazione e covarianza rolling a varie finestre temporali delle due serie, è stata utilizzata la stessa variabile dummy della sezione precedente per individuare eventi di shock e valutare l’incremento della covarianza e correlazione a ridosso di quella data. Essendo limitata tra -1 e +1 la correlazione si presta meglio a questa tipologia di analisi. Da ora fino alla fine della trattazione, perciò, le considerazioni verranno svolte solo sulla correlazione.
Una volta individuata la data di shock si calcola la differenza tra la correlazione in un periodo successivo di k giorni e in un periodo precedente di k giorni; con k ∈{20,74,156} L’algoritmo scritto in $R$ cerca un break point nella correlazione partendo dalla finestra temporale più corta. Eventi che causano un importante break nella correlazione già ad una piccola finestra temporale, possono essere interpretati come eventi di grande shock. Per valutare se il salto di correlazione è grande o meno, possiamo anzitutto visualizzare l’istogramma delle differenze prime delle rolling correlations a 20 giorni:cattura

Possiamo prendere il quantile $0.05$ e il quantile $0.95$ come soglie per capire se la differenza di correlazione che si sta analizzando è un break oppure no. L’algoritmo produce quindi due tabelle che appaiono così:

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La prima tabella della quale si può apprezzare un estratto nella figura sopra, è in corrispondenza di ritorni negativi, la seconda in corrispondenza di ritorni positivi. Dalla prima alla quinta colonna possiamo osservare: il ritorno di break, il delta della correlazione a ridosso della data di break, il quantile al $5%$, il qunatile al 95%, e la finestra temporale per al quale è stato trovato il break nella correlazione.
Per completezza va riportato che se l’algoritmo verifica un break ad una finestra temporale $k1<k2$ non verifica le finestre temporali successive. Se alcune righe della tabella presentano valori $NA$ , significa che l’algoritmo no ha trovato un significativo break nella correlazione a nessuna delle finestre temporali prefissate.

CONCLUSIONI

Analizzando le tabelle prodotte, ed identificando alcune date particolari, possiamo trarre alcune conclusioni sul comportamento dei due mercati.

Qualche esempio:

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In corrispondenza del periodo dell’attacco alle torri gemelle possiamo notare diversi salti che incrementano la rolling correlation tra i due mercati con finestra temporale 20 giorni.

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Ancora possiamo osservare salti di correlazione coincidenti con il fallimento di Lehman Brothers e in tutto il periodo di crisi di quei mesi. E’ interessante osservare invece i dati relativi al crollo del 1987:

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Si può osservare dalla tabella che nel 1987 grandi shock sul mercato americano non hanno influenzato il mercato europeo. Questo comportamento può essere interpretato attraverso l’ipotesi di una evoluzione nel tempo della correlazione dei due mercati. Si può pensare per tali motivi alla correlazione come un processo dinamico non solo rispetto agli shock, ma anche rispetto al tempo. Per completezza verranno forniti i grafici relativi alla serie storica delle rolling correlation per le varie finestre temporali.

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Documento PDF:

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About Paolo Lelio Galante 2 Articles
- Model Review Quantitative Analyst at Morgan Stanley Founder - Sapienza Finance Student Association Sapienza Team Member - Chicago Quantitative Alliance Investment Challenge Linkedin

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